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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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8. Calcular las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes:
e) ∫arctg⁡(4x)dx\int \operatorname{arctg}(4 x) d x

Respuesta

Esta integral sale por partes y lo que hay que acordarse para poder resolverla, es que la derivada de arctan⁡(x)\arctan(x) es 11+x2\frac{1}{1+x^2}. Por lo tanto, en nuestro caso, la derivada de arctan⁡(4x)\arctan(4x), usando regla de la cadena sería 41+(4x)2\frac{4}{1+(4x)^2}

Entonces, si escribimos nuestra integral así:

∫1⋅arctan⁡(4x)dx\int 1 \cdot \arctan(4x) d x

Aplicamos la fórmula de partes

∫f′⋅g=f⋅g−∫f⋅g′ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' y tomamos:
g= arctan⁡(4x) →g′= 41+(4x)2 dx  g = \arctan(4x) \rightarrow g' = \frac{4}{1+(4x)^2} \, dx 

f′=1→f=x f' = 1 \rightarrow f = x  

Reemplazamos:

∫arctan⁡(4x)dx=xarctan⁡(4x)−∫4x1+(4x)2dx \int \arctan(4x) dx = x \arctan(4x) - \int \frac{4x}{1+(4x)^2} dx

Resolvemos en un cálculo auxiliar la integral:

∫4x1+(4x)2dx\int \frac{4x}{1+(4x)^2} dx

Esta integral sale por sustitución, tomamos:

u=(4x)2+1=16x2+1u = (4x)^2 + 1 = 16x^2 + 1

du=32x dx⇒x dx=du32du = 32x \, dx \Rightarrow x \, dx = \frac{du}{32}

Nos queda:

∫4x1+(4x)2dx=∫4u  du32=18∫1u du=18⋅ln⁡∣u∣+C= 18ln⁡(16x2+1)\int \frac{4x}{1+(4x)^2} dx = \int \frac{4}{u} \, \frac{du}{32} = \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{8} \cdot \ln|u| + C = \frac{1}{8} \ln(16x^2 + 1)

Volvemos entonces y nos queda...

∫arctan⁡(4x)dx=xarctan⁡(4x)−∫4x1+(4x)2dx \int \arctan(4x) dx = x \arctan(4x) - \int \frac{4x}{1+(4x)^2} dx

∫arctan⁡(4x)dx=xarctan⁡(4x)−18ln⁡(16x2+1)+C\int \arctan(4x) dx = x \arctan(4x) - \frac{1}{8} \ln(16x^2 + 1) + C
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Valentino
14 de junio 11:44
hola flor, una preg, en la ultima parte cuando reemplazas u por 16x^2 +1, eso no va adentro del modulo del ln ?
0 Responder
Flor
PROFE
14 de junio 12:53
@Valentino Hola Valen! No le puse módulo porque 16x2+116x^2 + 1 es siempre positivo (al estar la xx elevada al cuadrado), pero si no te dabas cuenta le dejabas el módulo y estaba bien :)
0 Responder
Valentino
14 de junio 14:50
ahhhhh okeyy, graciasss
0 Responder