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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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8. Calcular las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes:
e) $\int \operatorname{arctg}(4 x) d x$

Respuesta

Esta integral sale por partes y lo que hay que acordarse para poder resolverla, es que la derivada de $\arctan(x)$ es $\frac{1}{1+x^2}$. Por lo tanto, en nuestro caso, la derivada de $\arctan(4x)$, usando regla de la cadena sería $\frac{4}{1+(4x)^2}$

Entonces, si escribimos nuestra integral así:

$\int 1 \cdot \arctan(4x) d x$

Aplicamos la fórmula de partes

$ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' $ y tomamos:
$ g = \arctan(4x) \rightarrow g' = \frac{4}{1+(4x)^2} \, dx $

$ f' = 1 \rightarrow f = x$  

Reemplazamos:

$ \int \arctan(4x) dx = x \arctan(4x) - \int \frac{4x}{1+(4x)^2} dx $

Resolvemos en un cálculo auxiliar la integral:

$\int \frac{4x}{1+(4x)^2} dx$

Esta integral sale por sustitución, tomamos:

$u = (4x)^2 + 1 = 16x^2 + 1$

$du = 32x \, dx \Rightarrow x \, dx = \frac{du}{32}$

Nos queda:

$\int \frac{4x}{1+(4x)^2} dx = \int \frac{4}{u} \, \frac{du}{32} = \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{8} \cdot \ln|u| + C = \frac{1}{8} \ln(16x^2 + 1)$

Volvemos entonces y nos queda...

$ \int \arctan(4x) dx = x \arctan(4x) - \int \frac{4x}{1+(4x)^2} dx $

$\int \arctan(4x) dx = x \arctan(4x) - \frac{1}{8} \ln(16x^2 + 1) + C$
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Avatar Valentino 14 de junio 11:44
hola flor, una preg, en la ultima parte cuando reemplazas u por 16x^2 +1, eso no va adentro del modulo del ln ?

Avatar Flor Profesor 14 de junio 12:53
@Valentino Hola Valen! No le puse módulo porque $16x^2 + 1$ es siempre positivo (al estar la $x$ elevada al cuadrado), pero si no te dabas cuenta le dejabas el módulo y estaba bien :)
Avatar Valentino 14 de junio 14:50
ahhhhh okeyy, graciasss

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